听过好多次报告，还旁听过一次几何量子化的国际会议。虽然没做过这个方向，但很想从爱因斯坦的司机的角度来聊一聊。
量子化呢，就是想办法把一个经典力学的系统转化成量子力学的系统clash shadowfly，并希望在普朗克常数趋于0时geometric clash，量子系统退化为经典系统。几何量子化就是用几何的办法来形式化上述过程。所以我们首先应该看看经典系统什么样，量子系统什么样，再看看怎么能对应起来。
先看经典系统：经典系统的相空间是一个辛流形（M，omega）。余切丛是最常见的。经典系统的可观测量是辛流形上面的实值光滑函数。可观测量的变化由哈密顿方程刻画：
其中可观测量H是哈密顿量，括号是辛流形上面经典的泊松括号，f_t是随时间变化的可观测量。
再看量子系统：量子系统的相空间是一个希尔伯特空间mathcal{H}。可观测量是这个希尔伯特空间的自伴算子。可观测量的变化可以由海森堡方程刻画：
其中可观测量hat{H}是量子系统的哈密顿量clash支持v2ray吗，括号是李括号， i是虚数单位，h是普朗克常数（下面提到普朗克常数时有时有可能差个2pi的倍数），f_t是随时间变化的可观测量。
可以看到这两个方程长的好像啊geometric clash！是不是想办法把泊松括号搞成李括号就可以了呢？这是狄拉克当年提的问题：是否存在一个线性过程 Q: 经典系统———量子系统，使得，
（可能还要加上一些物理中的限制，但主要就是线性加这两条。）事情没那么简单，Groenewald 和Van Hove的 no-go定理证明了这样简单的对应并不存在。想想也是，如果有这么简单的对应，量子力学不就和经典力学一样了吗？而且这个对应并没有考虑到普朗克常数趋于0退化的这个过程,这个量子化过程应该依赖于普朗克常数的变化。加上这个过程，我们可以把(2)修改一下
这样我们就能描述这个退化过程了。满足(1),(2) 的线性过程一般就叫做量子化。用几何来描述这个过程就叫做几何量子化。
首先要介绍的是Bohr-Sommerfeld条件：我们知道量子系统里面的东西都是离散的。下面这个公式就是Bohr-Sommerfeld研究氢原子模型的时候给出的量子化条件：
此时L是全纯线丛，联络是唯一的全纯厄密联络。量子化的相空间定义为Lambda^{0,*} T^{*}MotimesL的全纯截面的全体。由Hodge定理，当流形紧时，相空间就是上同调H^*(M,L)。
根据前面的陈类关系，L是正线丛。由小平邦彦消失定理，当k充分大时，非零阶上同调都是零geometric clash，。这时相空间就只剩下了H^0(M,L^k),根据黎曼洛赫定理他的维数也对应了相应的欧拉数。
下面我们来看可观测量。这里我熟悉的是一种特殊的几何量子化：Berezin-Toeplitz 量子化。设 f 是一个经典系统的可观测量，也就是一个光滑函数，令s是量子相空间的一个元，最自然的想法就是将f 乘以 s .乘一下就不在相空间里面了，我们再投影回来。。。数学点说，设P_k:L^2(M,L^k)rightarrow H^0(M,L^k)是一个正交投影，Q(f,k):=P_kcirc fcirc P_k. 这是个自伴算子，叫做Toeplitz算子，也记为T_{f,k}. 他显然关于f 是线,k)=Id. 可以证明 Q(f,k) 关于k 一致有界而且
上面所有的过程都可推广到紧辛流形，进一步地，加上一些条件（保证有谱gap）可以到完备辛流形。这方面的一篇很好的综述文章是
除此之外，我们还需要修补一些重要细节，例如，动能在geometric quantization的标准程序下是无法量子化的。
题主可以上网查一下漫谈几何量子化 有一个个人博客叫科学空间 博主整理了那个资料 你找找
